问题描述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列<i0，i1，…，ik-1>，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。
考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：
（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；
（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；
（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。
这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。
求解：
引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。
问题的递归式写成：
回溯输出最长公共子序列过程：
算法分析：
由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m + n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为Θ(m + n)。
一切没有code的分析都是耍流氓。。。 上code
void printLCS(string str1, string str2, vector >flag, int idx1, int idx2){ if(idx1 == 0 || idx2 == 0 ) return; if(flag[idx1][idx2] == 1) { printLCS(str1, str2,flag, idx1-1, idx2-1); cout << idx1 <<"\t"<< idx2 <<"\t"; cout << str1[idx1-1] <<"\t"<
>flag; vector
tmp; tmp.resize(len2+1); for(size_t i = 0; i<= len1; i++) flag.push_back(tmp); //memset(flag,0,sizeof(flag)); // 1: leftup; 2: left; 3: up for(size_t i = 0; i <= len1; i++) { f[i][0] = 0; } for(size_t i = 0; i <= len2; i++) { f[0][i] = 0; } for(size_t i = 1; i <= len1; i++) { for(size_t j = 1; j <= len2; j++) { if(str1[i-1] == str2[j-1]) { f[i][j] = f[i-1][j-1] + 1; flag[i][j] = 1; } else { f[i][j] = max(f[i][j-1], f[i-1][j]); if(f[i][j-1] > f[i-1][j]) flag[i][j] = 2; else flag[i][j] = 3; } } }#if 0 for(size_t i = 1; i <= len1; i++) { for(size_t j = 1; j <= len2; j++) { //cout << "f["<
<<"][" < <<"]" << f[j][i] <<"\n"; cout << f[i][j] <<"\t"; } cout << endl; } cout << endl; for(size_t i = 1; i <= len1; i++) { for(size_t j = 1; j <= len2; j++) { //cout << "f["< <<"][" < <<"]" << f[j][i] <<"\n"; cout << flag[i][j] <<"\t"; } cout << endl; }#endif printLCS(str1, str2, flag, len1, len2); return f[len1][len2];} 找两个字符串的最长公共子串，这个子串要求在原字符串中是连续的。其实这又是一个序贯决策问题，可以用动态规划来求解。我们采用一个二维矩阵来记录中间的结果。这个二维矩阵怎么构造呢？直接举个例子吧："bab"和"caba"(当然我们现在一眼就可以看出来最长公共子串是"ba"或"ab")
/** 找出两个字符串的最长公共连续子串的长度** author :liuzhiwei ** data :2011-08-16**/ #include "stdio.h"#include "string.h"#include "stdlib.h"int longest_common_substring(char *str1, char *str2){ int i,j,k,len1,len2,max,x,y; len1 = strlen(str1); len2 = strlen(str2); int **c = new int*[len1+1]; for(i = 0; i < len1+1; i++) c[i] = new int[len2+1]; for(i = 0; i < len1+1; i++) c[i][0]=0; //第0列都初始化为0 for(j = 0; j < len2+1; j++) c[0][j]=0; //第0行都初始化为0 max = -1; for(i = 1 ; i < len1+1 ; i++) { for(j = 1; j < len2+1; j++) { if(str1[i-1]==str2[j-1]) //只需要跟左上方的c[i-1][j-1]比较就可以了 c[i][j]=c[i-1][j-1]+1; else //不连续的时候还要跟左边的c[i][j-1]、上边的c[i-1][j]值比较，这里不需要 c[i][j]=0; if(c[i][j]>max) { max=c[i][j]; x=i; y=j; } } } //输出公共子串 char s[1000]; k=max; i=x-1,j=y-1; s[k--]='\0'; while(i>=0 && j>=0) { if(str1[i]==str2[j]) { s[k--]=str1[i]; i--; j--; } else //只要有一个不相等，就说明相等的公共字符断了，不连续了 break; } printf("最长公共子串为："); puts(s); for(i = 0; i < len1+1; i++) //释放动态申请的二维数组 delete[] c[i]; delete[] c; return max;}int main(void){ char str1[1000],str2[1000]; printf("请输入第一个字符串："); gets(str1); printf("请输入第二个字符串："); gets(str2); int len = longest_common_substring(str1, str2); printf("最长公共连续子串的长度为：%d\n",len); system("pause"); return 0;}